heres the solution.

 

first letus convert the integralto taninverse.

then we get,

 

 

_{[ ]}^{[ ]} tan^-1  (x\a)   dx

 

now substitute

 

x = a tan² y.

 

dx = 2 *  a  *   (tan y ) (sec² y )

 

the integral becomes,

 

     2a   y tan y sec ² y   dy

 

nowapply parts.

take tan y  sec ² y as dv.

 

 

_{[ ]}^{[ ]} dv =    _{[ ]}^{[ ]}  tan y  sec² y dy

 

which is equal to

 

tan² y \ 2.

 

then the final integral becomes by applyingparts,

 

2a  {  (y tan² y )\2  -   1\2     tan ² y dy  }     ( write tan 2y as 1-sec2 y)

 

which is

 

2a { (y tan ² y) \2 - 1\2  (y - tan y ) }  + c

 

replace y by   tan ^-1  (x\a)

 

thu sthe answer is

 

 a tan ^-1  (x\a) * (x\a) -  a ( tan ^-1   (x\a)  -   ( x\a)   + c